2021年河北工業大學碩士研究生初試601數學分析考試大綱
來源:河北工業大學 更新時間:2020年08月18日 18:37:26
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河北工業大學2021 年碩士研究生招生考試 自命題科目考試大綱
科目代碼:601
科目名稱:數學分析
適用專業:數學
一、考試要求 數學分析適用于河北工業大學理學院數學專業研究生招生專業課考 試。主要考察對于數學分析基本概念、基本理論和基本方法以及運用所學 知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試形式 試卷采用客觀題型和主觀題型相結合的形式,主要包括計算題、證明 題等。考試時間為 3 小時,總分為 150 分。
三、考試內容
(一)變量與函數 函數的概念、復合函數和反函數、基本初等函數。
(二)極限與連續 1、數列極限和無窮大量:數列極限的定義、性質、運算,單調 有界數列,無窮大量的定義、性質及運算。 2、函數極限: 函數在一點的極限,函數極限的性質和運算,單 側極限,函數在無窮遠出的極限,函數值趨于無窮大的情形,重要極 限。 3、連續函數: 連續的定義、連續函數的性質和運算,不連續點 的類型,閉區間上連續函數的性質。 4、無窮大量和無窮小量的階。
(三)關于實數的基本定理及閉區間上連續函數性質的證明 1、關于實數基本定理:子列的概念,上(下)確界,區間套定 理,致密性定理,Cauchy收斂原理,有限覆蓋定理。 2、閉區間上連續函數性質的證明:有界性定理,最大和最小值 定理,零點存在定理,反函數連續性定理,一致連續性定理。
(四)導數與微分 1、導數的定義, 導數的幾何意義和物理意義。 2、簡單函數的導數:常數函數的導數,三角函數的導數,對數 函數的導數,冪函數的導數。 3、求導法則:導數的四則運算,反函數的導數,復合函數的導 數。 4、微分及其運算:微分的定義,微分的運算法則。 5、隱函數及參數方程所表示函數的求導。 6、高階導數與高階微分:高階導數的運算法則,高階微分。
(五)微分學的基本定理及其應用 1、中值定理:Fermat定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定 理。 2、Taylor公式和近似計算Taylor公式。 3、函數的單調性、極值與凸性。 4、平面曲線的曲率。 5、待定型----洛必達法則。 6、方程的近似解。
(六)不定積分 1、不定積分的概念及其運算法則。 2、不定積分的計算:換元積分法,分步積分法,有理函數積分 法。
(七)定積分 1、定積分的概念。 2、定積分存在的條件:定積分存在的充分必要條件,可積函數 類。 3、定積分的性質。 4、定積分的計算:基本公式,換元積分法,分步積分公式。
(八)定積分的應用和近似計算 1、平面圖形的面積。 2、曲線的弧長。 3、體積。 4、旋轉曲面的面積。 5、質心。 6、平均值、功的計算。 7、定積分的近似計算。
(九)數項級數 1、數列的上、下極限。 2、級數收斂性及其基本性質。 3、正項級數及其收斂的判別法。 4、任意項級數:絕對收斂級數,交錯級數。條件收斂判別法。 5、絕對收斂級數和條件收斂級數的性質。 6、無窮乘積。
(十)反常(廣義)積分 1、無窮限反常積分:無窮限反常積分的概念,無窮限反常積分 和數項級數的關系,無窮限反常積分收斂性判別法。 2、無界函數的反常積分:無界函數的反常積分的概念和收斂判 別法,反常積分的主值。
(十一)函數項級數、冪級數 1、函數項級數一致收斂:一致收斂的定義,性質,判別法。 2、冪級數:收斂半徑,冪級數的性質和函數的冪級數展開。 3、逼近定理。
(十二)富里埃級數和富里埃變換 1、函數的富里埃級數展開:三角函數系的正交性,富里埃級數 的系數,富里埃級數的復數形式,富里埃級數的收斂性定理。 2、富里埃變換:富里埃變換的概念和性質。
(十三)多元函數的極限與連續 1、平面點集:鄰域 、點列和極限,開集、閉集和區域,平面 點集的基本定理——矩形套定理、 致密性定理、有限覆蓋定理、 Cauchu 收斂原理。 2、多元函數的極限與連續:多元函數的概念、二元函數的極限、 連續性,有界閉區域上連續函數的性質,二次極限和二重極限。
(十四)偏導數與全微分 1、偏導數與全微分的概念:偏導數的定義,全微分的定義,高 階偏導數和高階全微分。 2、求復合函數偏導數的鏈式法則。 3、由方程(組)所確定的函數的求導法:一個方程的情形,方 程組的情形。 4、空間曲線的切線與法平面。 5、曲面的切平面與法線。 6、方向導數和梯度。 7、多元函數的泰勒公式。
(十五)極值和條件極值 1、極值和最小二乘法。 2、條件極值。
(十六)隱函數存在定理、函數相關 1、隱函數存在定理:一個方程的情形,方程組的情形。 2、函數行列式的性質和函數相關。
(十七)含參變量的積分 含參變量積分的連續性、可微性及交換積分次序的定理。
(十八)含參變量的廣義積分 1、一致收斂性的定義。 2、一致收斂積分的判別法。 3、一致收斂積分的性質。 4、阿貝爾判別法和狄立克萊判別法。 5、歐拉積分。
(十九)積分的定義和性質 1、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、曲面積分積分的概 念 。 2、積分的性質。
(二十)重積分的計算和應用 1、二重積分的計算:化二重積分為二次積分,用極坐標計算二 重積分,二重積分的一般變量替換。 2、三重積分的計算: 化三重積分為三次積分, 三重積分的變量 替換。 3、積分在物理上的應用——質心、矩,引力。 4、廣義重積分。
(二十一)曲線積分和曲面積分的計算 1、第一類曲線積分的計算。 2、第一類曲面積分的計算:曲面積分,曲面積分的計算。 3、第二類曲線積分:物理意義,第二類曲線積分的計算,兩類 曲線積分的聯系。 4、第二類曲面:曲面的側,第二類曲面積分的定義,兩類曲面 積分的聯系,第二類曲面積分的計算。
(二十二)各種積分間的聯系和場論初步 1、各種積分間的聯系:格林(Green)公式,高斯(Gauss)公 式,斯托克斯(Stokes)公式。 2、曲線積分和路徑無關的條件。 3、場論初步——場的概念,散度與旋度,保守場,Laplace算 子。 四、參考書目 [1]《數學分析》,主編:歐陽光中,高等教育出版社。 [2]《數學分析》,主編:華東師范大學數學系,高等教育出版社。
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